jueves, 18 de agosto de 2011

La circunferencia

Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanar llamado centro.



Elementos de la circunferencia

Secantes, cuerdas y tangentes.
La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia.
Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:
  • Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
  • Radio, el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia;
  • Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia (necesariamente pasa por el centro);
  • Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; (las cuerdas de longitud máxima son los diámetros)
  • Recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;
  • Recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;
  • Punto de tangencia, el de contacto de la recta tangente con la circunferencia;
  • Arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;
  • Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

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Posiciones relativas

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La circunferencia y un punto
Un punto en el plano puede ser:
  • Exterior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es mayor que la longitud del radio.
  • Perteneciente a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es igual a la longitud del radio.
  • Interior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es menor a la longitud del radio.

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La circunferencia y la recta
Una recta, respecto de una circunferencia, puede ser:
  • Exterior, si no tienen ningún punto en común con ella y la distancia del centro a la recta es mayor que la longitud del radio.
  • Tangente, si la toca en un punto (el punto de tangencia) y la distancia del centro a la recta es igual a la longitud del radio. Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de tangencia con el centro.
  • Secante, si tiene dos puntos comunes, es decir, si la corta en dos puntos distintos y la distancia del centro a la recta es menor a la longitud del radio.Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
  • Segmento circular, es el conjunto de puntos de la regiòn circular comprendida entre una cuerda y el arco correspondiente.

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Dos circunferencias
Circunferências.png
Dos circunferencias, en función de sus posiciones relativas, se denominan:
  • Exteriores, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor que la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. (Figura 1)
  • Tangentes exteriormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. (Figura 2)
  • Secantes, si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. Dos circunferencias distintas no pueden cortarse en más de dos puntos. Dos circunferencias son secantes ortogonalmente si el ángulo entre sus tangentes en los dos puntos de contacto es recto. (Figura 3)
  • Tangentes interiormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de ellas son interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es igual al valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra. (Figura 4)
  • Interiores excéntricas, si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es mayor que 0 y menor que el valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.
  • Interiores concéntricas, si tienen el mismo centro (la distancia entre sus centros es 0) y distinto radio. Forman una figura conocida como corona circular o anillo. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra. (Figura 5)
  • Coincidentes, si tienen el mismo centro y el mismo radio. Si dos circunferencias tienen más de dos puntos comunes, necesariamente son circunferencias coincidentes.

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Ángulos en una circunferencia
Ángulos en la circunferencia.
Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.
Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:
Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta. Sus lados contienen a dos radios.
La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.
Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.
La amplitud de un ángulo inscrito en una semi circunferencia equivale a la mayor parte del angúlo exterior que limita dicha base. (Véase: arco capaz.)
Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia.
La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.
Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.
La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.
Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de la circunferencia

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Longitud de la circunferencia
La longitud \ell de una circunferencia es:
\ell = \pi \cdot 2r
donde  r \, es la longitud del radio.
Pues \pi \, (número pi), por definición, es el cociente entre la longitud de la circunferencia y el diámetro:
\pi = \frac {\ell}{2r}

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Ecuaciones de la circunferencia

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Ecuación en coordenadas cartesianas
Circle center a b radius r.svg
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\,.
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al
x^2 + y^2 = r^2\,.
La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamadacircunferencia goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.
De la ecuación general de una circunferencia,
(x-a)^2 + (y-b)^2=r^2 \,
se deduce:
x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 \,
resultando:
a = -\frac{D}{2}
b = -\frac{E}{2}
r = \sqrt{a^2 + b^2-F}
Si conocemos los puntos extremos de un diámetro: (x_1,y_1), (x_2,y_2)\,,
la ecuación de la circunferencia es:
(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0.\,

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Ecuación vectorial de la circunferencia
La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene por ecuación vectorial: \vec r\ =\langle R\cos(\theta),R\sin(\theta)\rangle \,. Donde \theta \, es el parámetro de la curva, además cabe destacar que \theta\in[0,2\pi). Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que la componente X y la componente Y, al cuadrado y sumadas deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio esta misma ecuación da como resultado un cilindro, dejando el parámetro Z libre.

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Ecuación en coordenadas polares
Unit circle.svg
Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe encoordenadas polares como (r,\theta) \,
r=c. \,
Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto (s,\alpha) \, y el radio es c \,, la ecuación se transforma en:
r^2 - 2 s r\, \cos(\theta - \alpha) + s^2 = c^2

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Ecuación en coordenadas paramétricas
La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como:
x=a + c \cos t,\ y=b+c\sin t,\qquad t\in[0,2\pi]
x=a+c\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right),\ y=b+c\left(\frac{2t}{1+t^2}\right),\qquad -\infty\leq t\leq \infty
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