Un polígono regular es un polígono en el que todos los lados tienen la misma longitud y todos los ángulos interiores son de lamisma medida.
- En un polígono regular podemos distinguir:En un polígono regular podemos distinguir:
- Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono.
- Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos.
- Centro, C: el punto central equidistante de todos los vértices.
- Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices.
- Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, hasta el centro del polígono.
- Diagonal, d: segmento que une dos vértices no contiguos.
- Perímetro, P: es la suma de la medida de su contorno.
- Semiperímetro, SP: es la mitad de la suma de la suma de la medida de su contorno (mitad del perímetro).
- Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono.
- Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos.
- Centro, C: el punto central equidistante de todos los vértices.
- Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices.
- Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, hasta el centro del polígono.
- Diagonal, d: segmento que une dos vértices no contiguos.
- Perímetro, P: es la suma de la medida de su contorno.
- Semiperímetro, SP: es la mitad de la suma de la suma de la medida de su contorno (mitad del perímetro).
las características de los polígonos regularesson de gran utilidad para determinar sus propiedades, y dimensiones geométricas. - Los polígonos regulares son equiláteros; todos sus lados tienen la misma longitud
- Todos los ángulos interiores de un polígono regular tienen la misma medida, es decir, son congruentes
- El centro de un polígono regular es un punto equidistante de todos los vértices del polígono
- Los polígonos se pueden dividir en triángulos cuyos lados son el lado del polígono y los dos segmentos que unen el centro y los vértices (radios)
- El apotema es el segmento que une el centro y la mitad de cada lado del polígono
- El radio es el segmento que une el centro y cada vértice
Todos los polígonos tienen tres o más lados.
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Los ángulos de un polígono regularEntre los ángulos existentes en un polígono regular, podemos ver: el ángulo central,ángulo interior y ángulo exterior.
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Ángulos centrales- Todos los ángulos centrales de un polígono regular son congruentes y su medidaα puede obtenerse a partir del número de lados n del polígono
- en radianes
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Ángulos interiores- El Ángulo interior, , de un polígono regular mide:
- en grados sexagesimales
- en radianes
- La suma de los ángulos interiores, , de un polígono regular es de:
- en grados sexagesimales
- en radianes
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Ángulos exteriores- El Ángulo exterior, , de un polígono regular es de:
- en grados sexagesimales
- en radianes
- La suma de los ángulos exteriores, , de un polígono regular es:
- en grados sexagesimales
- en radianes
Como puede verse la suma de los ángulos exteriores de un polígono, y de un polígono regular en particular, mide una circunferencia completa, independientemente del número de lados.
A esta conclusión se podía llegar percatándose de que:
dado que todos los ángulos interiores de un triángulo suman 180 grados, que resulta:
Por otro lado al ser ángulos suplementarios tenemos:
por tanto, en un polígono regular el ángulo central y el exterior miden lo mismo:
y habiendo el mismo número de ángulos centrales y exteriores en un polígono, su suma también es la misma:
que es una circunferencia completa, independientemente del número de lados, esta conclusión es valida también para los polígonos no regulares.
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Galería de polígonos regulares[editar]
Área de los polígonos regularesPara calcular el área, A, de un polígono debemos multiplicar el perímetro, P, por el apotema, a, y dividido entre dos. Lo que se resume con la siguiente formula matematica:
Partiendo del triángulo que tiene por base un lado,L, del polígono y altura su apotema,a , el área de este triángulo, es:
Un polígono de n lados, tiene n de estos triángulos, por lo tanto el área del polígono será:
esto es:
Sabiendo que la longitud de un lado,L, por el número,n, de lados es el perímetro,P , tenemos:
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Área de un polígono regular, conociendo el número de lados y la apotemaSabiendo que:
Además , ya que es la mitad de un ángulo central (esto en radianes).
Observando la imagen, es posible deducir que
Sustituyendo el lado:
Finalmente:
Con esta fórmula se puede averiguar el área con el número de lados y la apotema, sin necesidad de recurrir al perímetro.
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Área de un polígono, conociendo el número de lados y el radioUn polígono queda perfectamente definido por su número de lados n, y el radio r, por tanto podemos determinar cual es su área, a la vista de la figura, tenemos que:
donde el ángulo central es:
sabiendo que el área de un polígono es:
y sustituyendo el valor del lado y la apotema calculados antes, tenemos:
ordenando tenemos:
sabiendo que:
resulta:
o lo que es lo mismo:
Con esta expresión podemos calcular el área del polígono, conociendo solamente el número de lados y su radio, lo que resulta útil en muchos casos.
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Área de un polígono en función del ladoY si queremos expresar el área en función del lado, podemos calcularlo de la siguiente manera:
Sea el ángulo formado por el Lado "L" y el radio "r":
El valor de la apotema en función del lado será, por la definición de la tangente:
Despejando la apotema tenemos:
Sustituimos la apotema por su valor:
Con lo que conociendo el número de lados del polígono regular y la longitud del lado podemos calcular su superficie.
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Diagonales de un polígono regularComo ya se ha dicho la diagonal de un polígono es el segmento que une dos vértices no contiguos, vamos a ver algunas características de estas diagonales.
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Número de diagonalesPara determinar el número de diagonales Nd, de un polígono de n vértices realizaremos el siguiente razonamiento:
- De un vértice cualquiera partirán (n – 3) diagonales, donde n es el número de vértices, dado que no hay ningún diagonal que le una consigo mismo ni con ninguno de los dos vértices contiguos.
- Esto es valido para los n vértices del polígono.
- Una diagonal une dos vértices, por lo que aplicando el razonamiento anterior tendríamos el doble de diagonales de las existentes.
Según el razonamiento tendremos que:
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Longitud de la diagonal más pequeñaLa diagonal más pequeña de un polígono regular es la que une dos vértices alternos, para determinar su longitud, partimos del ángulos central y del radio, el radio que pasa por el vértice intermedio, corta a la diagonal en el punto A, este radio y la diagonal son perpendiculares en A.
Esto es el triángulo VAC es rectángulo en A, por tanto:
que resulta:
de donde deducimos que:
Sabiendo el valor del ángulo central:
La diagonal más pequeña de un polígono regular, solo depende del radio y del número de lados, siendo tanto mayor cuanto mayor sea el radio y disminuyendo de longitud cuando aumenta el número de lados del polígono.
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